$$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$x^{6} - 64 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$-64$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$1$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$; したがって、余りは$$$-63$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$; したがって、余りは$$$-63$$$です。
$$$2$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - 2$$$ で割る。
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$2$$$ は根である。
$$$-2$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ で割る。
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-2$$$ は根である。
$$$4$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - 4$$$ で割る。
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$; したがって、余りは$$$4032$$$です。
$$$-4$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$ で割る。
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$; したがって、余りは$$$4032$$$です。
$$$8$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - 8$$$ で割る。
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$; したがって、余りは$$$262080$$$です。
$$$-8$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$ で割る。
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$; したがって、余りは$$$262080$$$です。
$$$16$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - 16$$$ で割る。
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$; したがって、余りは$$$16777152$$$です。
$$$-16$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$ で割る。
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$; したがって、余りは$$$16777152$$$です。
$$$32$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - 32$$$ で割る。
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$; したがって、余りは$$$1073741760$$$です。
$$$-32$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$ で割る。
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$; したがって、余りは$$$1073741760$$$です。
$$$64$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - 64$$$ で割る。
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$; したがって、余りは$$$68719476672$$$です。
$$$-64$$$ を検算：$$$x^{6} - 64$$$ を $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$ で割る。
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$; したがって、余りは$$$68719476672$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A.
実際の有理根: $$$2$$$, $$$-2$$$A.