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$$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$x^{4} - 48 x^{2} - 49 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$-49$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$1$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{49}{1}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = -96$$$; したがって、余りは$$$-96$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = -96$$$; したがって、余りは$$$-96$$$です。
$$$7$$$ を検算：$$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ を $$$x - 7$$$ で割る。
$$$P{\left(7 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$7$$$ は根である。
$$$-7$$$ を検算：$$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ を $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$ で割る。
$$$P{\left(-7 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-7$$$ は根である。
$$$49$$$ を検算：$$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ を $$$x - 49$$$ で割る。
$$$P{\left(49 \right)} = 5649504$$$; したがって、余りは$$$5649504$$$です。
$$$-49$$$ を検算：$$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ を $$$x - \left(-49\right) = x + 49$$$ で割る。
$$$P{\left(-49 \right)} = 5649504$$$; したがって、余りは$$$5649504$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$A.
実際の有理根: $$$7$$$, $$$-7$$$A.