$$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$9$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$4$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = -24$$$; したがって、余りは$$$-24$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$; したがって、余りは$$$-24$$$です。
$$$\frac{1}{2}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \frac{1}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$\frac{1}{2}$$$ は根である。
$$$- \frac{1}{2}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$- \frac{1}{2}$$$ は根である。
$$$\frac{1}{4}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \frac{1}{4}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; したがって、余りは$$$\frac{429}{64}$$$です。
$$$- \frac{1}{4}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; したがって、余りは$$$\frac{429}{64}$$$です。
$$$3$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - 3$$$ で割る。
$$$P{\left(3 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$3$$$ は根である。
$$$-3$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$ で割る。
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-3$$$ は根である。
$$$\frac{3}{2}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \frac{3}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$; したがって、余りは$$$-54$$$です。
$$$- \frac{3}{2}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$; したがって、余りは$$$-54$$$です。
$$$\frac{3}{4}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \frac{3}{4}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; したがって、余りは$$$- \frac{675}{64}$$$です。
$$$- \frac{3}{4}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; したがって、余りは$$$- \frac{675}{64}$$$です。
$$$9$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - 9$$$ で割る。
$$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$; したがって、余りは$$$23256$$$です。
$$$-9$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$ で割る。
$$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$; したがって、余りは$$$23256$$$です。
$$$\frac{9}{2}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \frac{9}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$; したがって、余りは$$$900$$$です。
$$$- \frac{9}{2}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$; したがって、余りは$$$900$$$です。
$$$\frac{9}{4}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \frac{9}{4}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; したがって、余りは$$$- \frac{4851}{64}$$$です。
$$$- \frac{9}{4}$$$ を検算：$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ を $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; したがって、余りは$$$- \frac{4851}{64}$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.
実際の有理根: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.