有理根の定理計算機
多項式の取り得るすべての有理根を段階的に求める
この計算機は、有理根定理を用いて多項式の取り得るすべての有理根の候補を求めます。その後、どの候補が実際の根であるかを判定します。これは、最高次係数が $$$1$$$ または $$$-1$$$ のときの整数根の定理（整根定理）のより一般的な場合です。手順も利用できます。
入力内容
$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$7$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$2$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = -12$$$; したがって、余りは$$$-12$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-1$$$ は根である。
$$$\frac{1}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ を $$$x - \frac{1}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$\frac{1}{2}$$$ は根である。
$$$- \frac{1}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ を $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$; したがって、余りは$$$\frac{27}{4}$$$です。
$$$7$$$ を検算：$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ を $$$x - 7$$$ で割る。
$$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$; したがって、余りは$$$4368$$$です。
$$$-7$$$ を検算：$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ を $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$ で割る。
$$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$; したがって、余りは$$$3780$$$です。
$$$\frac{7}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ を $$$x - \frac{7}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$; したがって、余りは$$$\frac{567}{4}$$$です。
$$$- \frac{7}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ を $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$; したがって、余りは$$$105$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.
実際の有理根: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.