$$$x^{3} - 1$$$ を $$$x - 2$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(x^{3}-1\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{OrangeRed}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{OrangeRed}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{OrangeRed}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{OrangeRed}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(2 x^{2}-1\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x-1$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Red}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Red}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Red}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Red}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&4 x&-1&\end{array}$$

ステップ 3

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(4 x-1\right) - \left(4 x-8\right) = 7$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+2 x&{\color{Green}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&{\color{Green}4 x}&-1&\frac{{\color{Green}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{Green}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{OrangeRed}x^{2}}&{\color{Red}+2 x}&{\color{Green}+4}&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{OrangeRed}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{OrangeRed}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{OrangeRed}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Red}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Red}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Red}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&{\color{Green}4 x}&-1&\frac{{\color{Green}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{Green}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{x^{3} - 1}{x - 2} = \left(x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{7}{x - 2}$$$。