$$$x^{3} + 7 x^{2} + 1$$$ を $$$x - 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+7 x^{2}+0 x+1\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(x^{3}+7 x^{2}+1\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = 8 x^{2}+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Purple}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Purple}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{Purple}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Purple}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{8 x^{2}}{x} = 8 x$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$8 x \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(8 x^{2}+1\right) - \left(8 x^{2}- 8 x\right) = 8 x+1$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{BlueViolet}+8 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{BlueViolet}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{BlueViolet}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{BlueViolet}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{BlueViolet}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&8 x&+1&\end{array}$$

ステップ 3

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{8 x}{x} = 8$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$8 \left(x-1\right) = 8 x-8$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(8 x+1\right) - \left(8 x-8\right) = 9$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+8 x&{\color{Green}+8}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&\\\hline\\&&&{\color{Green}8 x}&+1&\frac{{\color{Green}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Green}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Purple}x^{2}}&{\color{BlueViolet}+8 x}&{\color{Green}+8}&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Purple}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{Purple}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Purple}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{BlueViolet}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{BlueViolet}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{BlueViolet}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{BlueViolet}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&{\color{Green}8 x}&+1&\frac{{\color{Green}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Green}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 1}{x - 1} = \left(x^{2} + 8 x + 8\right) + \frac{9}{x - 1}$$$。