$$$x^{4}$$$ を $$$x^{2} - 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Blue}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Blue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Blue}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{SaddleBrown}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}x^{2}}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Blue}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Blue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Blue}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{SaddleBrown}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$。