$$$x^{6} - 1$$$ を $$$x^{2} + 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{4}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$x^{4} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(x^{6}-1\right) - \left(x^{6}+x^{4}\right) = - x^{4}-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DeepPink}x^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{DeepPink}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DeepPink}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DeepPink}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{DeepPink}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{- x^{4}}{x^{2}} = - x^{2}$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$- x^{2} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(- x^{4}-1\right) - \left(- x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}-1$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&{\color{Chocolate}- x^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Chocolate}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chocolate}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Chocolate}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

ステップ 3

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$1 \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(x^{2}-1\right) - \left(x^{2}+1\right) = -2$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{4}&- x^{2}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{SaddleBrown}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DeepPink}x^{4}}&{\color{Chocolate}- x^{2}}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{DeepPink}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DeepPink}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DeepPink}x^{4}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+x^{4}&&&&&{\color{DeepPink}x^{4}} \left(x^{2}+1\right) = x^{6}+x^{4}\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{Chocolate}- x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chocolate}- x^{2}}\\&&&-\phantom{- x^{4}}&&&&&\\&&&- x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Chocolate}- x^{2}} \left(x^{2}+1\right) = - x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&&&x^{2}&+0 x&+1&{\color{SaddleBrown}1} \left(x^{2}+1\right) = x^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-2&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{x^{6} - 1}{x^{2} + 1} = \left(x^{4} - x^{2} + 1\right) + \frac{-2}{x^{2} + 1}$$$。