$$$x^{3} - 2 x^{2}$$$ を $$$x^{2} + 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{3}- 2 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$x \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(x^{3}- 2 x^{2}\right) - \left(x^{3}+x\right) = - 2 x^{2}- x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{BlueViolet}x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{BlueViolet}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{BlueViolet}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&- 2 x^{2}&- x&+0&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{- 2 x^{2}}{x^{2}} = -2$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$- 2 \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(- 2 x^{2}- x\right) - \left(- 2 x^{2}-2\right) = - x+2$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x&{\color{Crimson}-2}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{3}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{Crimson}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Crimson}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Crimson}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Crimson}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{BlueViolet}x}&{\color{Crimson}-2}&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{BlueViolet}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{BlueViolet}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&{\color{Crimson}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Crimson}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Crimson}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Crimson}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2 - x}{x^{2} + 1}$$$。