$$$v^{4}$$$ を $$$v^{2} + 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{4}+0 v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{v^{4}}{v^{2}} = v^{2}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$v^{2} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(v^{4}\right) - \left(v^{4}+v^{2}\right) = - v^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Chartreuse}v^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Chartreuse}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Chartreuse}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Chartreuse}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Chartreuse}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&- v^{2}&+0 v&+0&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{- v^{2}}{v^{2}} = -1$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$- \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(- v^{2}\right) - \left(- v^{2}-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&v^{2}&{\color{SaddleBrown}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&v^{4}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{SaddleBrown}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{SaddleBrown}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Chartreuse}v^{2}}&{\color{SaddleBrown}-1}&&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Chartreuse}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Chartreuse}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Chartreuse}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Chartreuse}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{SaddleBrown}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{SaddleBrown}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{v^{4}}{v^{2} + 1} = \left(v^{2} - 1\right) + \frac{1}{v^{2} + 1}$$$。