$$$u^{3}$$$ を $$$u - 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Blue}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Blue}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Blue}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Blue}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Blue}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{Crimson}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Crimson}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Crimson}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Crimson}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

ステップ 3

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{u}{u} = 1$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{DarkBlue}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}u}&+0&\frac{{\color{DarkBlue}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DarkBlue}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{DarkBlue}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Blue}u^{2}}&{\color{Crimson}+u}&{\color{DarkBlue}+1}&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Blue}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Blue}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Blue}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Blue}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{Crimson}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Crimson}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Crimson}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}u}&+0&\frac{{\color{DarkBlue}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DarkBlue}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{DarkBlue}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$。