$$$u^{7}$$$ を $$$u^{2} + 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{7}+0 u^{6}+0 u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{u^{7}}{u^{2}} = u^{5}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$u^{5} \left(u^{2}+1\right) = u^{7}+u^{5}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(u^{7}\right) - \left(u^{7}+u^{5}\right) = - u^{5}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}u^{5}}&&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{SaddleBrown}u^{7}}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{7}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}u^{5}}\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&{\color{SaddleBrown}u^{5}} \left(u^{2}+1\right) = u^{7}+u^{5}\\\hline\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{- u^{5}}{u^{2}} = - u^{3}$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$- u^{3} \left(u^{2}+1\right) = - u^{5}- u^{3}$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(- u^{5}\right) - \left(- u^{5}- u^{3}\right) = u^{3}$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&u^{5}&{\color{Red}- u^{3}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{7}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&{\color{Red}- u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}- u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}- u^{3}}\\&&&-\phantom{- u^{5}}&&&&&&\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&- u^{3}&&&&{\color{Red}- u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{5}- u^{3}\\\hline\\&&&&&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

ステップ 3

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{u^{3}}{u^{2}} = u$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$u \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}+u\right) = - u$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&u^{5}&- u^{3}&{\color{Violet}+u}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{7}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&&&-\phantom{- u^{5}}&&&&&&\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&- u^{3}&&&&\\\hline\\&&&&&{\color{Violet}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Violet}u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Violet}u}\\&&&&&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&&&&&u^{3}&+0 u^{2}&+u&&{\color{Violet}u} \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u\\\hline\\&&&&&&&- u&+0&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}u^{5}}&{\color{Red}- u^{3}}&{\color{Violet}+u}&&&&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{SaddleBrown}u^{7}}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{7}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}u^{5}}\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&{\color{SaddleBrown}u^{5}} \left(u^{2}+1\right) = u^{7}+u^{5}\\\hline\\&&&{\color{Red}- u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}- u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}- u^{3}}\\&&&-\phantom{- u^{5}}&&&&&&\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&- u^{3}&&&&{\color{Red}- u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{5}- u^{3}\\\hline\\&&&&&{\color{Violet}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Violet}u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Violet}u}\\&&&&&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&&&&&u^{3}&+0 u^{2}&+u&&{\color{Violet}u} \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u\\\hline\\&&&&&&&- u&+0&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{u^{7}}{u^{2} + 1} = \left(u^{5} - u^{3} + u\right) + \frac{- u}{u^{2} + 1}$$$。