$$$u^{6}$$$ を $$$u^{2} + 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{6}+0 u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{u^{6}}{u^{2}} = u^{4}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$u^{4} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(u^{6}\right) - \left(u^{6}+u^{4}\right) = - u^{4}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Violet}u^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Violet}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Violet}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Violet}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{Violet}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{- u^{4}}{u^{2}} = - u^{2}$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$- u^{2} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(- u^{4}\right) - \left(- u^{4}- u^{2}\right) = u^{2}$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&{\color{Brown}- u^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Brown}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

ステップ 3

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{u^{2}}{u^{2}} = 1$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$1 \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}+1\right) = -1$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&- u^{2}&{\color{Crimson}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{Crimson}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{Crimson}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Violet}u^{4}}&{\color{Brown}- u^{2}}&{\color{Crimson}+1}&&&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Violet}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Violet}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Violet}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{Violet}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Brown}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{Crimson}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{Crimson}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{u^{6}}{u^{2} + 1} = \left(u^{4} - u^{2} + 1\right) + \frac{-1}{u^{2} + 1}$$$。