$$$u^{5}$$$ を $$$u^{2} + 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Peru}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Peru}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Peru}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Peru}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{Blue}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{Blue}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Blue}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Blue}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{Blue}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Peru}u^{3}}&{\color{Blue}- u}&&&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Peru}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Peru}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Peru}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{Blue}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Blue}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Blue}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{Blue}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$。