$$$u^{4}$$$ を $$$u^{2} + 1$$$ で割る

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Chartreuse}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{Fuchsia}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{2}}&{\color{Fuchsia}-1}&&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Chartreuse}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$。