$$$x^{6}$$$ を $$$\left(x^{2} + 1\right)^{2}$$$ で割る

除数を書き換える: $$$\left(x^{2} + 1\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$$$.

問題を指定の形式で書いてください（省略された項は係数0で表します）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{4}+2 x^{2}+1&x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{x^{6}}{x^{4}} = x^{2}$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$x^{2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(x^{6}\right) - \left(x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\right) = - 2 x^{4}- x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DarkBlue}x^{2}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&{\color{DarkBlue}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{DarkBlue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&{\color{DarkBlue}x^{2}} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\\\hline\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{- 2 x^{4}}{x^{4}} = -2$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$- 2 \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(- 2 x^{4}- x^{2}\right) - \left(- 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\right) = 3 x^{2}+2$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{2}&{\color{Green}-2}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Green}- 2 x^{4}}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}- 2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Green}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x^{4}}&&&&&\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Green}-2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\\\hline\\&&&&&3 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DarkBlue}x^{2}}&{\color{Green}-2}&&&&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&{\color{DarkBlue}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{DarkBlue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&{\color{DarkBlue}x^{2}} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Green}- 2 x^{4}}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}- 2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Green}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x^{4}}&&&&&\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Green}-2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\\\hline\\&&&&&3 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{x^{6}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = \left(x^{2} - 2\right) + \frac{3 x^{2} + 2}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$$。