多項式の因数分解計算機
多項式を段階的に因数分解
この計算機は、手順を表示しながら、任意の多項式（2項式、3項式、2次式など）の因数分解を試みます。使用される方法は次のとおりです：単項式の共通因数でくくる、二次式の因数分解、項のグループ化および再グループ化、和の平方・差の平方、和の立方・差の立方、平方の差、立方和・立方差、有理根の定理。計算機は一変数および多変数の多項式の両方に対応します。
Solution
Your input: factor $$$\frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6}$$$.
Factor the common term:
$${\color{red}{\left(\frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6}\right)}} = {\color{red}{\frac{n}{6} \left(2 n^{2} + 3 n + 1\right)}}$$
To factor the quadratic function $$$2 n^{2} + 3 n + 1$$$, we should solve the corresponding quadratic equation $$$2 n^{2} + 3 n + 1=0$$$.
Indeed, if $$$n_1$$$ and $$$n_2$$$ are the roots of the quadratic equation $$$an^2+bn+c=0$$$, then $$$an^2+bn+c=a(n-n_1)(n-n_2)$$$.
Solve the quadratic equation $$$2 n^{2} + 3 n + 1=0$$$.
The roots are $$$n_{1} = - \frac{1}{2}$$$, $$$n_{2} = -1$$$ (use the quadratic equation calculator to see the steps).
Therefore, $$$2 n^{2} + 3 n + 1 = 2 \left(n + \frac{1}{2}\right) \left(n + 1\right)$$$.
$$\frac{n {\color{red}{\left(2 n^{2} + 3 n + 1\right)}}}{6} = \frac{n {\color{red}{\left(2 \left(n + \frac{1}{2}\right) \left(n + 1\right)\right)}}}{6}$$
Simplify: $$$\frac{n \left(n + \frac{1}{2}\right) \left(n + 1\right)}{3}=\frac{n \left(n + 1\right) \left(2 n + 1\right)}{6}$$$.
Thus, $$$\frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6}=\frac{n \left(n + 1\right) \left(2 n + 1\right)}{6}$$$.
Answer: $$$\frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6}=\frac{n \left(n + 1\right) \left(2 n + 1\right)}{6}$$$.