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Calcolatrice di algebra lineare
Risolvi problemi di algebra lineare passo dopo passo
Il tuo input
Trova la SVD di $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]$$$.
Soluzione
Trova la trasposta della matrice: $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di trasposta di matrice).
Moltiplica la matrice per la sua trasposta: $$$W = \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatrice per la moltiplicazione di matrici).
Ora, trova gli autovalori e gli autovettori di $$$W$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di autovalori e autovettori).
Autovalore: $$$- \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$.
Autovalore: $$$\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$.
Trova le radici quadrate degli autovalori non nulli ($$$\sigma_{i}$$$):
$$$\sigma_{1} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2}$$$
$$$\sigma_{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}$$$
La matrice $$$\Sigma$$$ è una matrice nulla con $$$\sigma_{i}$$$ sulla sua diagonale: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}\end{array}\right].$$$
Le colonne della matrice $$$U$$$ sono i vettori normalizzati (unitari): $$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi per trovare un vettore unitario, vedi calcolatore di vettore unitario).
Ora, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:
$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatrice per la moltiplicazione di una matrice per uno scalare e calcolatrice per il prodotto di matrici).
$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatrice per la moltiplicazione di una matrice per uno scalare e calcolatrice per il prodotto di matrici).
Pertanto, $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right].$$$
Le matrici $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ e $$$V$$$ sono tali che la matrice iniziale $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.
Risposta
$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.525731112119134 & 0.85065080835204\\0.85065080835204 & 0.525731112119134\end{array}\right]$$$A
$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.618033988749895 & 0\\0 & 1.618033988749895\end{array}\right]$$$A
$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.85065080835204 & 0.525731112119134\\0.525731112119134 & 0.85065080835204\end{array}\right]$$$A