Calcolatrice per la decomposizione LU
Trova la fattorizzazione LU di una matrice passo dopo passo
La calcolatrice determinerà (se possibile) la decomposizione LU della matrice data $$$A$$$, cioè una matrice triangolare inferiore $$$L$$$ e una matrice triangolare superiore $$$U$$$ tali che $$$A=LU$$$, con i passaggi mostrati.
In caso di pivoting parziale (è necessaria una permutazione delle righe), la calcolatrice determinerà anche la matrice di permutazione $$$P$$$ tale che $$$PA=LU$$$.
Calcolatore correlato: Calcolatrice per la decomposizione QR
Il tuo input
Trova la decomposizione LU di $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$.
Soluzione
Inizia dalla matrice identità $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$.
Sottrai la riga $$$1$$$ moltiplicata per $$$\frac{3}{2}$$$ dalla riga $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
Scrivi il coefficiente $$$\frac{3}{2}$$$ nella matrice $$$L$$$ alla riga $$$2$$$, colonna $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Sottrai la riga $$$1$$$ moltiplicata per $$$\frac{1}{2}$$$ dalla riga $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
Scrivi il coefficiente $$$\frac{1}{2}$$$ nella matrice $$$L$$$ alla riga $$$3$$$, colonna $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Aggiungi alla riga $$$3$$$ la riga $$$2$$$ moltiplicata per $$$\frac{3}{25}$$$: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
Scrivi il coefficiente $$$- \frac{3}{25}$$$ nella matrice $$$L$$$ alla riga $$$3$$$, colonna $$$2$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
La matrice ottenuta è la matrice $$$U$$$.
Risposta
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A