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Calcolatore di curvatura

Calcola la curvatura passo dopo passo

Il calcolatore troverà la curvatura della funzione data, esplicita, parametrica o vettoriale, nel punto indicato, mostrando i passaggi.

Calcolatrici correlate: Calcolatore del vettore binormale unitario, Calcolatore di torsione

$$$\langle$$$
,
,
$$$\rangle$$$
Se hai una funzione esplicita $$$y = f{\left(x \right)}$$$, inseriscila come $$$x$$$, $$$f{\left(x \right)}$$$, $$$0$$$. Ad esempio, la curvatura di $$$y = x^{2}$$$ può essere trovata qui.
Lascia vuoto se non ti serve la curvatura in un punto specifico.

Se il calcolatore non è riuscito a calcolare qualcosa, oppure hai riscontrato un errore, o hai un suggerimento o un feedback, ti preghiamo di contattarci.

Il tuo input

Trova la curvatura di $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, 3 t + 1, t^{2} - 5\right\rangle$$$.

Soluzione

Trova la derivata di $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate).

Trova il modulo di $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore del modulo).

Trova la derivata di $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate).

Trova il prodotto vettoriale: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore del prodotto vettoriale).

Trova il modulo di $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore del modulo).

Infine, la curvatura è $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}.$$$

Risposta

La curvatura è $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A.