Punti critici, estremi e punti di sella di $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$

Trova e classifica i punti critici di $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$.

Il primo passo consiste nel trovare tutte le derivate parziali di primo ordine:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Successivamente, risolvi il sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, oppure $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$.

Il sistema ha la seguente soluzione reale: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Ora, proviamo a classificarla.

Trova tutte le derivate parziali seconde:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Definisci l'espressione $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$

Poiché $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ è minore di $$$0$$$, si può affermare che $$$\left(0, 0\right)$$$ è un punto di sella.

Massimi relativi

Nessun massimo relativo.

Minimi relativi

Nessun minimo relativo.

Punti di sella

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A