Integrale di $$$\ln\left(x + 1\right)$$$

Trova $$$\int \ln\left(x + 1\right)\, dx$$$.

Sia $$$u=x + 1$$$.

Quindi $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = du$$$.

Quindi,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x + 1 \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}$$

Per l'integrale $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$.

Siano $$$\operatorname{m}=\ln{\left(u \right)}$$$ e $$$\operatorname{dv}=du$$$.

Quindi $$$\operatorname{dm}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (i passaggi si possono vedere »).

Quindi,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}={\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

Applica la regola della costante $$$\int c\, du = c u$$$ con $$$c=1$$$:

$$u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}$$

Ricordiamo che $$$u=x + 1$$$:

$$- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - {\color{red}{\left(x + 1\right)}} + {\color{red}{\left(x + 1\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(x + 1\right)}} \right)}$$

Pertanto,

$$\int{\ln{\left(x + 1 \right)} d x} = - x + \left(x + 1\right) \ln{\left(x + 1 \right)} - 1$$

Semplifica:

$$\int{\ln{\left(x + 1 \right)} d x} = \left(x + 1\right) \left(\ln{\left(x + 1 \right)} - 1\right)$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\ln{\left(x + 1 \right)} d x} = \left(x + 1\right) \left(\ln{\left(x + 1 \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(x + 1\right)\, dx = \left(x + 1\right) \left(\ln\left(x + 1\right) - 1\right) + C$$$A