Integrale di $$$\ln\left(5 x\right)$$$

Trova $$$\int \ln\left(5 x\right)\, dx$$$.

Sia $$$u=5 x$$$.

Quindi $$$du=\left(5 x\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = \frac{du}{5}$$$.

L'integrale può essere riscritto come

$${\color{red}{\int{\ln{\left(5 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{5} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=\frac{1}{5}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{5}\right)}}$$

Per l'integrale $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$.

Siano $$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}$$$ e $$$\operatorname{dv}=du$$$.

Quindi $$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale può essere riscritto come

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{5}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{5}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{5}$$

Applica la regola della costante $$$\int c\, du = c u$$$ con $$$c=1$$$:

$$\frac{u \ln{\left(u \right)}}{5} - \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{5} = \frac{u \ln{\left(u \right)}}{5} - \frac{{\color{red}{u}}}{5}$$

Ricordiamo che $$$u=5 x$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}}{5} + \frac{{\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{5} = - \frac{{\color{red}{\left(5 x\right)}}}{5} + \frac{{\color{red}{\left(5 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(5 x\right)}} \right)}}{5}$$

Pertanto,

$$\int{\ln{\left(5 x \right)} d x} = x \ln{\left(5 x \right)} - x$$

Semplifica:

$$\int{\ln{\left(5 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(5 \right)}\right)$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\ln{\left(5 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(5 \right)}\right)+C$$

$$$\int \ln\left(5 x\right)\, dx = x \left(\ln\left(x\right) - 1 + \ln\left(5\right)\right) + C$$$A