Integrale di $$$e^{\frac{t}{2}}$$$

Trova $$$\int e^{\frac{t}{2}}\, dt$$$.

Sia $$$u=\frac{t}{2}$$$.

Quindi $$$du=\left(\frac{t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{2}$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dt = 2 du$$$.

Quindi,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=2$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=\frac{t}{2}$$$:

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{2}\right)}}}$$

Pertanto,

$$\int{e^{\frac{t}{2}} d t} = 2 e^{\frac{t}{2}}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{\frac{t}{2}} d t} = 2 e^{\frac{t}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{t}{2}}\, dt = 2 e^{\frac{t}{2}} + C$$$A