Integrale di $$$e^{5 x}$$$

Trova $$$\int e^{5 x}\, dx$$$.

Sia $$$u=5 x$$$.

Quindi $$$du=\left(5 x\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = \frac{du}{5}$$$.

Pertanto,

$${\color{red}{\int{e^{5 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=\frac{1}{5}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Ricordiamo che $$$u=5 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = \frac{e^{{\color{red}{\left(5 x\right)}}}}{5}$$

Pertanto,

$$\int{e^{5 x} d x} = \frac{e^{5 x}}{5}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{5 x} d x} = \frac{e^{5 x}}{5}+C$$

$$$\int e^{5 x}\, dx = \frac{e^{5 x}}{5} + C$$$A