Integrale di $$$e^{3 t}$$$

Trova $$$\int e^{3 t}\, dt$$$.

Sia $$$u=3 t$$$.

Quindi $$$du=\left(3 t\right)^{\prime }dt = 3 dt$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dt = \frac{du}{3}$$$.

Pertanto,

$${\color{red}{\int{e^{3 t} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=\frac{1}{3}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

Ricordiamo che $$$u=3 t$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{e^{{\color{red}{\left(3 t\right)}}}}{3}$$

Pertanto,

$$\int{e^{3 t} d t} = \frac{e^{3 t}}{3}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{3 t} d t} = \frac{e^{3 t}}{3}+C$$

$$$\int e^{3 t}\, dt = \frac{e^{3 t}}{3} + C$$$A