Integrale di $$$e^{- 5 t}$$$

Trova $$$\int e^{- 5 t}\, dt$$$.

Sia $$$u=- 5 t$$$.

Quindi $$$du=\left(- 5 t\right)^{\prime }dt = - 5 dt$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dt = - \frac{du}{5}$$$.

Quindi,

$${\color{red}{\int{e^{- 5 t} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=- \frac{1}{5}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Ricordiamo che $$$u=- 5 t$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 5 t\right)}}}}{5}$$

Pertanto,

$$\int{e^{- 5 t} d t} = - \frac{e^{- 5 t}}{5}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{- 5 t} d t} = - \frac{e^{- 5 t}}{5}+C$$

$$$\int e^{- 5 t}\, dt = - \frac{e^{- 5 t}}{5} + C$$$A