Integrale di $$$\cos{\left(x e^{3} \right)}$$$

Trova $$$\int \cos{\left(x e^{3} \right)}\, dx$$$.

Sia $$$u=x e^{3}$$$.

Quindi $$$du=\left(x e^{3}\right)^{\prime }dx = e^{3} dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = \frac{du}{e^{3}}$$$.

L'integrale può essere riscritto come

$${\color{red}{\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{e^{3}} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=e^{-3}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{e^{3}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{e^{3}}}}$$

L'integrale del coseno è $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{e^{3}} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{e^{3}}$$

Ricordiamo che $$$u=x e^{3}$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{e^{3}} = \frac{\sin{\left({\color{red}{x e^{3}}} \right)}}{e^{3}}$$

Pertanto,

$$\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}}+C$$

$$$\int \cos{\left(x e^{3} \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}} + C$$$A