Integrale di $$$x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)}$$$

Trova $$$\int x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)}\, dx$$$.

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=\sin{\left(2 \right)}$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x^{3} e^{- x}$$$:

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)} d x}}} = {\color{red}{\sin{\left(2 \right)} \int{x^{3} e^{- x} d x}}}$$

Per l'integrale $$$\int{x^{3} e^{- x} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=x^{3}$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx=3 x^{2} dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale diventa

$$\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{x^{3} e^{- x} d x}}}=\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\left(x^{3} \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 3 x^{2} d x}\right)}}=\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\left(- x^{3} e^{- x} - \int{\left(- 3 x^{2} e^{- x}\right)d x}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=-3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{- x}$$$:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - {\color{red}{\int{\left(- 3 x^{2} e^{- x}\right)d x}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - {\color{red}{\left(- 3 \int{x^{2} e^{- x} d x}\right)}}\right)$$

Per l'integrale $$$\int{x^{2} e^{- x} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale può essere riscritto come

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} + 3 {\color{red}{\int{x^{2} e^{- x} d x}}}\right)=\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} + 3 {\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}\right)=\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} + 3 {\color{red}{\left(- x^{2} e^{- x} - \int{\left(- 2 x e^{- x}\right)d x}\right)}}\right)$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=-2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x e^{- x}$$$:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 3 {\color{red}{\int{\left(- 2 x e^{- x}\right)d x}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 3 {\color{red}{\left(- 2 \int{x e^{- x} d x}\right)}}\right)$$

Per l'integrale $$$\int{x e^{- x} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=x$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale può essere riscritto come

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{x e^{- x} d x}}}\right)=\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} + 6 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 1 d x}\right)}}\right)=\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} + 6 {\color{red}{\left(- x e^{- x} - \int{\left(- e^{- x}\right)d x}\right)}}\right)$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{\int{\left(- e^{- x}\right)d x}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{\left(- \int{e^{- x} d x}\right)}}\right)$$

Sia $$$u=- x$$$.

Quindi $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = - du$$$.

Quindi,

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}\right)$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}\right)$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{e^{u}}}\right)$$

Ricordiamo che $$$u=- x$$$:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{{\color{red}{u}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}\right)$$

Pertanto,

$$\int{x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)} d x} = \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}\right) \sin{\left(2 \right)}$$

Semplifica:

$$\int{x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)} d x} = - \left(x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- x} \sin{\left(2 \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)} d x} = - \left(x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- x} \sin{\left(2 \right)}+C$$

$$$\int x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)}\, dx = - \left(x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- x} \sin{\left(2 \right)} + C$$$A