Integrale di $$$\sqrt{x} \sqrt{1 - x}$$$

Trova $$$\int \sqrt{x} \sqrt{1 - x}\, dx$$$.

L'input viene riscritto: $$$\int{\sqrt{x} \sqrt{1 - x} d x}=\int{\sqrt{- x^{2} + x} d x}$$$.

Completa il quadrato (i passaggi sono visibili »): $$$- x^{2} + x = \frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}$$$:

$${\color{red}{\int{\sqrt{- x^{2} + x} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{\frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}} d x}}}$$

Sia $$$u=x - \frac{1}{2}$$$.

Quindi $$$du=\left(x - \frac{1}{2}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = du$$$.

Pertanto,

$${\color{red}{\int{\sqrt{\frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{\frac{1}{4} - u^{2}} d u}}}$$

Sia $$$u=\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}$$$.

Quindi $$$du=\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\cos{\left(v \right)}}{2} dv$$$ (i passaggi possono essere visti »).

Inoltre, ne consegue che $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$.

L'integrando diventa

$$$\sqrt{\frac{1}{4} - u ^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{4}}$$$

Usa l'identità $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$:

$$$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{4}}=\frac{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}{2}=\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}{2}$$$

Assumendo che $$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$, otteniamo quanto segue:

$$$\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}{2} = \frac{\cos{\left( v \right)}}{2}$$$

L'integrale può essere riscritto come

$${\color{red}{\int{\sqrt{\frac{1}{4} - u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(v \right)}}{4} d v}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ con $$$c=\frac{1}{4}$$$ e $$$f{\left(v \right)} = \cos^{2}{\left(v \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(v \right)}}{4} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos^{2}{\left(v \right)} d v}}{4}\right)}}$$

Applica la formula di riduzione della potenza per $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ con $$$\alpha= v $$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(v \right)} d v}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 v \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d v}}}}{4}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ con $$$c=\frac{1}{2}$$$ e $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(2 v \right)} + 1$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 v \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d v}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 v \right)} + 1\right)d v}}{2}\right)}}}{4}$$

Integra termine per termine:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 v \right)} + 1\right)d v}}}}{8} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d v} + \int{\cos{\left(2 v \right)} d v}\right)}}}{8}$$

Applica la regola della costante $$$\int c\, dv = c v$$$ con $$$c=1$$$:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 v \right)} d v}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{8} = \frac{\int{\cos{\left(2 v \right)} d v}}{8} + \frac{{\color{red}{v}}}{8}$$

Sia $$$w=2 v$$$.

Quindi $$$dw=\left(2 v\right)^{\prime }dv = 2 dv$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dv = \frac{dw}{2}$$$.

L'integrale può essere riscritto come

$$\frac{v}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 v \right)} d v}}}}{8} = \frac{v}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(w \right)}}{2} d w}}}}{8}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ con $$$c=\frac{1}{2}$$$ e $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$:

$$\frac{v}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(w \right)}}{2} d w}}}}{8} = \frac{v}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}{2}\right)}}}{8}$$

L'integrale del coseno è $$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$:

$$\frac{v}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}}}{16} = \frac{v}{8} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}}{16}$$

Ricordiamo che $$$w=2 v$$$:

$$\frac{v}{8} + \frac{\sin{\left({\color{red}{w}} \right)}}{16} = \frac{v}{8} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 v\right)}} \right)}}{16}$$

Ricordiamo che $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$:

$$\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{v}} \right)}}{16} + \frac{{\color{red}{v}}}{8} = \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}}} \right)}}{16} + \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}}}}{8}$$

Ricordiamo che $$$u=x - \frac{1}{2}$$$:

$$\frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} \right)}}{16} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{8} = \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{\left(x - \frac{1}{2}\right)}} \right)} \right)}}{16} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{\left(x - \frac{1}{2}\right)}} \right)}}{8}$$

Pertanto,

$$\int{\sqrt{- x^{2} + x} d x} = \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)} \right)}}{16} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}}{8}$$

Usando le formule $$$\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 1 - 2 \alpha^{2}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha^{2} + 1}$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha - 1} \sqrt{\alpha + 1}$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} + 1$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, semplifica l’espressione:

$$\int{\sqrt{- x^{2} + x} d x} = \frac{\sqrt{1 - \left(2 x - 1\right)^{2}} \left(2 x - 1\right)}{8} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}}{8}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\sqrt{- x^{2} + x} d x} = \frac{\sqrt{1 - \left(2 x - 1\right)^{2}} \left(2 x - 1\right)}{8} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}}{8}+C$$

$$$\int \sqrt{x} \sqrt{1 - x}\, dx = \left(\frac{\sqrt{1 - \left(2 x - 1\right)^{2}} \left(2 x - 1\right)}{8} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}}{8}\right) + C$$$A