Integrale di $$$\ln^{5}\left(x\right)$$$

Trova $$$\int \ln^{5}\left(x\right)\, dx$$$.

Per l'integrale $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{5} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{5}$$$ e $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{5}\right)^{\prime }dx=\frac{5 \ln{\left(x \right)}^{4}}{x} dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale può essere riscritto come

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{5} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{5} \cdot x-\int{x \cdot \frac{5 \ln{\left(x \right)}^{4}}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{5} - \int{5 \ln{\left(x \right)}^{4} d x}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=5$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}^{4}$$$:

$$x \ln{\left(x \right)}^{5} - {\color{red}{\int{5 \ln{\left(x \right)}^{4} d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{5} - {\color{red}{\left(5 \int{\ln{\left(x \right)}^{4} d x}\right)}}$$

Per l'integrale $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{4} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{4}$$$ e $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{4}\right)^{\prime }dx=\frac{4 \ln{\left(x \right)}^{3}}{x} dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (i passaggi si possono vedere »).

Quindi,

$$x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{4} d x}}}=x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{4} \cdot x-\int{x \cdot \frac{4 \ln{\left(x \right)}^{3}}{x} d x}\right)}}=x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{4} - \int{4 \ln{\left(x \right)}^{3} d x}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=4$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}^{3}$$$:

$$x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 5 {\color{red}{\int{4 \ln{\left(x \right)}^{3} d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 5 {\color{red}{\left(4 \int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}\right)}}$$

Per l'integrale $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{3}$$$ e $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{3}\right)^{\prime }dx=\frac{3 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale diventa

$$x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}}}=x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{3} \cdot x-\int{x \cdot \frac{3 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x}\right)}}=x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{3} - \int{3 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}^{2}$$$:

$$x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 20 {\color{red}{\int{3 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 20 {\color{red}{\left(3 \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

Per l'integrale $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ e $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale diventa

$$x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}=x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}=x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$:

$$x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 60 {\color{red}{\int{2 \ln{\left(x \right)} d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 60 {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Per l'integrale $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ e $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale può essere riscritto come

$$x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 120 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 120 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 120 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

Applica la regola della costante $$$\int c\, dx = c x$$$ con $$$c=1$$$:

$$x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 120 x \ln{\left(x \right)} - 120 {\color{red}{\int{1 d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 120 x \ln{\left(x \right)} - 120 {\color{red}{x}}$$

Pertanto,

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{5} d x} = x \ln{\left(x \right)}^{5} - 5 x \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 120 x \ln{\left(x \right)} - 120 x$$

Semplifica:

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{5} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)}^{5} - 5 \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 \ln{\left(x \right)}^{2} + 120 \ln{\left(x \right)} - 120\right)$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{5} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)}^{5} - 5 \ln{\left(x \right)}^{4} + 20 \ln{\left(x \right)}^{3} - 60 \ln{\left(x \right)}^{2} + 120 \ln{\left(x \right)} - 120\right)+C$$

$$$\int \ln^{5}\left(x\right)\, dx = x \left(\ln^{5}\left(x\right) - 5 \ln^{4}\left(x\right) + 20 \ln^{3}\left(x\right) - 60 \ln^{2}\left(x\right) + 120 \ln\left(x\right) - 120\right) + C$$$A