Integrale di $$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)}$$$

Trova $$$\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)}\, dx$$$.

Sia $$$u=e^{x} + 1$$$.

Quindi $$$du=\left(e^{x} + 1\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$e^{x} dx = du$$$.

L'integrale diventa

$${\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u + 1\right)} d u}}}$$

Esegui la scomposizione in fratti semplici (i passaggi possono essere visualizzati »):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u + 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

Integra termine per termine:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{u} d u} - \int{\frac{1}{u + 1} d u}\right)}}$$

L'integrale di $$$\frac{1}{u}$$$ è $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \int{\frac{1}{u + 1} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - \int{\frac{1}{u + 1} d u} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Sia $$$v=u + 1$$$.

Quindi $$$dv=\left(u + 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$du = dv$$$.

L'integrale diventa

$$\ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

L'integrale di $$$\frac{1}{v}$$$ è $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

Ricordiamo che $$$v=u + 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u + 1\right)}}}\right| \right)}$$

Ricordiamo che $$$u=e^{x} + 1$$$:

$$- \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{\left(e^{x} + 1\right)}}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(e^{x} + 1\right)}}}\right| \right)}$$

Pertanto,

$$\int{\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)} d x} = \ln{\left(e^{x} + 1 \right)} - \ln{\left(e^{x} + 2 \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)} d x} = \ln{\left(e^{x} + 1 \right)} - \ln{\left(e^{x} + 2 \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right) \left(e^{x} + 2\right)}\, dx = \left(\ln\left(e^{x} + 1\right) - \ln\left(e^{x} + 2\right)\right) + C$$$A