Integrale di $$$\frac{e^{- y}}{y}$$$

Trova $$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy$$$.

Sia $$$u=- y$$$.

Quindi $$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dy = - du$$$.

Quindi,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- y}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Questo integrale (Integrale esponenziale) non ha una forma chiusa:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Ricordiamo che $$$u=- y$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- y\right)}} \right)}$$

Pertanto,

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)} + C$$$A