Integrale di $$$e^{- p^{2} - q^{2}}$$$ rispetto a $$$p$$$

Trova $$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp$$$.

Riscrivi l'integrando:

$${\color{red}{\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p}}} = {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(p \right)}\, dp = c \int f{\left(p \right)}\, dp$$$ con $$$c=e^{- q^{2}}$$$ e $$$f{\left(p \right)} = e^{- p^{2}}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}} = {\color{red}{e^{- q^{2}} \int{e^{- p^{2}} d p}}}$$

Questo integrale (Funzione di errore) non ha una forma chiusa:

$$e^{- q^{2}} {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} d p}}} = e^{- q^{2}} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}\right)}}$$

Pertanto,

$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2} + C$$$A