Integrale di $$$e^{\frac{u}{v}}$$$ rispetto a $$$u$$$

Trova $$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$.

Sia $$$w=\frac{u}{v}$$$.

Quindi $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$du = v dw$$$.

L'integrale diventa

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ con $$$c=v$$$ e $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$:

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$:

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

Ricordiamo che $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

Pertanto,

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A