Integrale di $$$e^{x} + e^{- x}$$$

Trova $$$\int \left(e^{x} + e^{- x}\right)\, dx$$$.

Integra termine per termine:

$${\color{red}{\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{e^{- x} d x} + \int{e^{x} d x}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$\int{e^{- x} d x} + {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = \int{e^{- x} d x} + {\color{red}{e^{x}}}$$

Sia $$$u=- x$$$.

Quindi $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = - du$$$.

L'integrale diventa

$$e^{x} + {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = e^{x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$e^{x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = e^{x} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$e^{x} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = e^{x} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=- x$$$:

$$e^{x} - e^{{\color{red}{u}}} = e^{x} - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Pertanto,

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = e^{x} - e^{- x}$$

Semplifica:

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = 2 \sinh{\left(x \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = 2 \sinh{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \left(e^{x} + e^{- x}\right)\, dx = 2 \sinh{\left(x \right)} + C$$$A