Integrale di $$$\cos{\left(3 t \right)}$$$

Trova $$$\int \cos{\left(3 t \right)}\, dt$$$.

Sia $$$u=3 t$$$.

Quindi $$$du=\left(3 t\right)^{\prime }dt = 3 dt$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dt = \frac{du}{3}$$$.

Pertanto,

$${\color{red}{\int{\cos{\left(3 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=\frac{1}{3}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

L'integrale del coseno è $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{3}$$

Ricordiamo che $$$u=3 t$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(3 t\right)}} \right)}}{3}$$

Pertanto,

$$\int{\cos{\left(3 t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{3}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\cos{\left(3 t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{3}+C$$

$$$\int \cos{\left(3 t \right)}\, dt = \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{3} + C$$$A