Integrale di $$$\cos^{3}{\left(\theta \right)}$$$

Trova $$$\int \cos^{3}{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$.

Estrai un coseno e scrivi tutto il resto in termini del seno, usando la formula $$$\cos^2\left(\alpha \right)=-\sin^2\left(\alpha \right)+1$$$ con $$$\alpha=\theta$$$:

$${\color{red}{\int{\cos^{3}{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \sin^{2}{\left(\theta \right)}\right) \cos{\left(\theta \right)} d \theta}}}$$

Sia $$$u=\sin{\left(\theta \right)}$$$.

Quindi $$$du=\left(\sin{\left(\theta \right)}\right)^{\prime }d\theta = \cos{\left(\theta \right)} d\theta$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$\cos{\left(\theta \right)} d\theta = du$$$.

Pertanto,

$${\color{red}{\int{\left(1 - \sin^{2}{\left(\theta \right)}\right) \cos{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - u^{2}\right)d u}}}$$

Integra termine per termine:

$${\color{red}{\int{\left(1 - u^{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{u^{2} d u}\right)}}$$

Applica la regola della costante $$$\int c\, du = c u$$$ con $$$c=1$$$:

$$- \int{u^{2} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - \int{u^{2} d u} + {\color{red}{u}}$$

Applica la regola della potenza $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ con $$$n=2$$$:

$$u - {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=u - {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=u - {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

Ricordiamo che $$$u=\sin{\left(\theta \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} - \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = {\color{red}{\sin{\left(\theta \right)}}} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(\theta \right)}}}^{3}}{3}$$

Pertanto,

$$\int{\cos^{3}{\left(\theta \right)} d \theta} = - \frac{\sin^{3}{\left(\theta \right)}}{3} + \sin{\left(\theta \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\cos^{3}{\left(\theta \right)} d \theta} = - \frac{\sin^{3}{\left(\theta \right)}}{3} + \sin{\left(\theta \right)}+C$$

$$$\int \cos^{3}{\left(\theta \right)}\, d\theta = \left(- \frac{\sin^{3}{\left(\theta \right)}}{3} + \sin{\left(\theta \right)}\right) + C$$$A