Integrale di $$$4 y e^{- y^{2}}$$$

Trova $$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy$$$.

Sia $$$u=- y^{2}$$$.

Quindi $$$du=\left(- y^{2}\right)^{\prime }dy = - 2 y dy$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$y dy = - \frac{du}{2}$$$.

L'integrale diventa

$${\color{red}{\int{4 y e^{- y^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-2$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=- y^{2}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- y^{2}\right)}}}$$

Pertanto,

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}+C$$

$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy = - 2 e^{- y^{2}} + C$$$A