Integrale di $$$3 \cos{\left(3 x \right)}$$$

Trova $$$\int 3 \cos{\left(3 x \right)}\, dx$$$.

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{3 \cos{\left(3 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\cos{\left(3 x \right)} d x}\right)}}$$

Sia $$$u=3 x$$$.

Quindi $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = \frac{du}{3}$$$.

L'integrale diventa

$$3 {\color{red}{\int{\cos{\left(3 x \right)} d x}}} = 3 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=\frac{1}{3}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}} = 3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

L'integrale del coseno è $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

Ricordiamo che $$$u=3 x$$$:

$$\sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sin{\left({\color{red}{\left(3 x\right)}} \right)}$$

Pertanto,

$$\int{3 \cos{\left(3 x \right)} d x} = \sin{\left(3 x \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{3 \cos{\left(3 x \right)} d x} = \sin{\left(3 x \right)}+C$$

$$$\int 3 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = \sin{\left(3 x \right)} + C$$$A