Integrale di $$$2 x^{3} + 3$$$

Trova $$$\int \left(2 x^{3} + 3\right)\, dx$$$.

Integra termine per termine:

$${\color{red}{\int{\left(2 x^{3} + 3\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{3 d x} + \int{2 x^{3} d x}\right)}}$$

Applica la regola della costante $$$\int c\, dx = c x$$$ con $$$c=3$$$:

$$\int{2 x^{3} d x} + {\color{red}{\int{3 d x}}} = \int{2 x^{3} d x} + {\color{red}{\left(3 x\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$:

$$3 x + {\color{red}{\int{2 x^{3} d x}}} = 3 x + {\color{red}{\left(2 \int{x^{3} d x}\right)}}$$

Applica la regola della potenza $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ con $$$n=3$$$:

$$3 x + 2 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=3 x + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=3 x + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

Pertanto,

$$\int{\left(2 x^{3} + 3\right)d x} = \frac{x^{4}}{2} + 3 x$$

Semplifica:

$$\int{\left(2 x^{3} + 3\right)d x} = \frac{x \left(x^{3} + 6\right)}{2}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\left(2 x^{3} + 3\right)d x} = \frac{x \left(x^{3} + 6\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(2 x^{3} + 3\right)\, dx = \frac{x \left(x^{3} + 6\right)}{2} + C$$$A