Integrale di $$$\frac{a}{\sin{\left(x \right)}}$$$ rispetto a $$$x$$$

Trova $$$\int \frac{a}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Riscrivi il seno usando la formula dell'angolo doppio $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{a}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Moltiplica il numeratore e il denominatore per $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} \right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{a}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Sia $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$.

Quindi $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$.

Quindi,

$${\color{red}{\int{\frac{a \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a}{u} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=a$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{a}{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{\frac{1}{u} d u}}}$$

L'integrale di $$$\frac{1}{u}$$$ è $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$a {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = a {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Ricordiamo che $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:

$$a \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = a \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)}$$

Pertanto,

$$\int{\frac{a}{\sin{\left(x \right)}} d x} = a \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\frac{a}{\sin{\left(x \right)}} d x} = a \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{a}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = a \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right) + C$$$A