Integrale di $$$\frac{1}{- c + z}$$$ rispetto a $$$c$$$

Trova $$$\int \frac{1}{- c + z}\, dc$$$.

Sia $$$u=- c + z$$$.

Quindi $$$du=\left(- c + z\right)^{\prime }dc = - dc$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dc = - du$$$.

L'integrale diventa

$${\color{red}{\int{\frac{1}{- c + z} d c}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

L'integrale di $$$\frac{1}{u}$$$ è $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Ricordiamo che $$$u=- c + z$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(- c + z\right)}}}\right| \right)}$$

Pertanto,

$$\int{\frac{1}{- c + z} d c} = - \ln{\left(\left|{c - z}\right| \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\frac{1}{- c + z} d c} = - \ln{\left(\left|{c - z}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{- c + z}\, dc = - \ln\left(\left|{c - z}\right|\right) + C$$$A