Integrale di $$$\frac{1}{a - x}$$$ rispetto a $$$x$$$

Trova $$$\int \frac{1}{a - x}\, dx$$$.

Sia $$$u=a - x$$$.

Quindi $$$du=\left(a - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = - du$$$.

Pertanto,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

L'integrale di $$$\frac{1}{u}$$$ è $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Ricordiamo che $$$u=a - x$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(a - x\right)}}}\right| \right)}$$

Pertanto,

$$\int{\frac{1}{a - x} d x} = - \ln{\left(\left|{a - x}\right| \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\frac{1}{a - x} d x} = - \ln{\left(\left|{a - x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{a - x}\, dx = - \ln\left(\left|{a - x}\right|\right) + C$$$A