Integrale di $$$- x \tan{\left(x \right)}$$$

Trova $$$\int \left(- x \tan{\left(x \right)}\right)\, dx$$$.

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x \tan{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- x \tan{\left(x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{x \tan{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Per l'integrale $$$\int{x \tan{\left(x \right)} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=x$$$ e $$$\operatorname{dv}=\tan{\left(x \right)} dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{\tan{\left(x \right)} d x}=- \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale può essere riscritto come

$$- {\color{red}{\int{x \tan{\left(x \right)} d x}}}=- {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)-\int{\left(- \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=- {\color{red}{\left(- x \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \int{\left(- \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)d x}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$$:

$$x \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)d x}}} = x \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} d x}\right)}}$$

Questo integrale non ammette una forma chiusa:

$$x \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - {\color{red}{\int{\ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} d x}}} = x \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - {\color{red}{\left(\frac{i x^{2}}{2} - x \ln{\left(e^{2 i x} + 1 \right)} + x \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{i \operatorname{Li}_{2}\left(- e^{2 i x}\right)}{2}\right)}}$$

Pertanto,

$$\int{\left(- x \tan{\left(x \right)}\right)d x} = - \frac{i x^{2}}{2} + x \ln{\left(e^{2 i x} + 1 \right)} - \frac{i \operatorname{Li}_{2}\left(- e^{2 i x}\right)}{2}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\left(- x \tan{\left(x \right)}\right)d x} = - \frac{i x^{2}}{2} + x \ln{\left(e^{2 i x} + 1 \right)} - \frac{i \operatorname{Li}_{2}\left(- e^{2 i x}\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(- x \tan{\left(x \right)}\right)\, dx = \left(- \frac{i x^{2}}{2} + x \ln\left(e^{2 i x} + 1\right) - \frac{i \operatorname{Li}_{2}\left(- e^{2 i x}\right)}{2}\right) + C$$$A