Integrale di $$$e^{\frac{x}{c}}$$$ rispetto a $$$x$$$

Trova $$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx$$$.

Sia $$$u=\frac{x}{c}$$$.

Quindi $$$du=\left(\frac{x}{c}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{c}$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = c du$$$.

Quindi,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{c}} d x}}} = {\color{red}{\int{c e^{u} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=c$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{c e^{u} d u}}} = {\color{red}{c \int{e^{u} d u}}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$c {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = c {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=\frac{x}{c}$$$:

$$c e^{{\color{red}{u}}} = c e^{{\color{red}{\frac{x}{c}}}}$$

Pertanto,

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx = c e^{\frac{x}{c}} + C$$$A