Integrale di $$$\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}$$$

Trova $$$\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx$$$.

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(9 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)d x}}}$$

Integra termine per termine:

$${\color{red}{\int{\left(9 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \int{\cos^{2}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Applica la formula di riduzione della potenza per $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ con $$$\alpha=x$$$:

$$- \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(x \right)} d x}}} = - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d x}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=\frac{1}{2}$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} + 1$$$:

$$- \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d x}}} = - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)d x}}{2}\right)}}$$

Integra termine per termine:

$$- \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)d x}}}}{2} = - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

Applica la regola della costante $$$\int c\, dx = c x$$$ con $$$c=1$$$:

$$- \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{1 d x}}}}{2} = - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{x}}}{2}$$

Sia $$$u=2 x$$$.

Quindi $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

L'integrale diventa

$$\frac{x}{2} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{x}{2} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=\frac{1}{2}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{x}{2} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{x}{2} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

L'integrale del coseno è $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{x}{2} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{x}{2} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

Ricordiamo che $$$u=2 x$$$:

$$\frac{x}{2} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{x}{2} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=9$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{9 \sin^{2}{\left(x \right)} d x}}} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\left(9 \int{\sin^{2}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Applica la formula di riduzione della potenza per $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$ con $$$\alpha=x$$$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + 9 {\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(x \right)} d x}}} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + 9 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)d x}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=\frac{1}{2}$$$ e $$$f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(2 x \right)}$$$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + 9 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)d x}}} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + 9 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}$$

Integra termine per termine:

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \frac{9 {\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} + \frac{9 {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

Applica la regola della costante $$$\int c\, dx = c x$$$ con $$$c=1$$$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} - \frac{9 \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}{2} + \frac{9 {\color{red}{\int{1 d x}}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} - \frac{9 \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}{2} + \frac{9 {\color{red}{x}}}{2}$$

L'integrale $$$\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}$$$ è già stato calcolato:

$$\int{\cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$

Pertanto,

$$5 x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} - \frac{9 {\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2} = 5 x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x} - \frac{9 {\color{red}{\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=6$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$$:

$$5 x - 2 \sin{\left(2 x \right)} - {\color{red}{\int{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x}}} = 5 x - 2 \sin{\left(2 x \right)} - {\color{red}{\left(6 \int{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Sia $$$v=\sin{\left(x \right)}$$$.

Quindi $$$dv=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \cos{\left(x \right)} dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$\cos{\left(x \right)} dx = dv$$$.

Pertanto,

$$5 x - 2 \sin{\left(2 x \right)} - 6 {\color{red}{\int{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} d x}}} = 5 x - 2 \sin{\left(2 x \right)} - 6 {\color{red}{\int{v d v}}}$$

Applica la regola della potenza $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ con $$$n=1$$$:

$$5 x - 2 \sin{\left(2 x \right)} - 6 {\color{red}{\int{v d v}}}=5 x - 2 \sin{\left(2 x \right)} - 6 {\color{red}{\frac{v^{1 + 1}}{1 + 1}}}=5 x - 2 \sin{\left(2 x \right)} - 6 {\color{red}{\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}}$$

Ricordiamo che $$$v=\sin{\left(x \right)}$$$:

$$5 x - 2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 {\color{red}{v}}^{2} = 5 x - 2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 {\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}^{2}$$

Pertanto,

$$\int{\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} d x} = 5 x - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} d x} = 5 x - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}+C$$

$$$\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx = \left(5 x - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + C$$$A