Integrale di $$$\frac{e^{- x}}{5}$$$

Trova $$$\int \frac{e^{- x}}{5}\, dx$$$.

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=\frac{1}{5}$$$ e $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{5} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x} d x}}{5}\right)}}$$

Sia $$$u=- x$$$.

Quindi $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = - du$$$.

L'integrale può essere riscritto come

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x} d x}}}}{5} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{5}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}}{5}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

Ricordiamo che $$$u=- x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{5} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{5}$$

Pertanto,

$$\int{\frac{e^{- x}}{5} d x} = - \frac{e^{- x}}{5}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\frac{e^{- x}}{5} d x} = - \frac{e^{- x}}{5}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{5}\, dx = - \frac{e^{- x}}{5} + C$$$A