Integrale di $$$t^{2} e^{- t}$$$

Trova $$$\int t^{2} e^{- t}\, dt$$$.

Per l'integrale $$$\int{t^{2} e^{- t} d t}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=t^{2}$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(t^{2}\right)^{\prime }dt=2 t dt$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale può essere riscritto come

$${\color{red}{\int{t^{2} e^{- t} d t}}}={\color{red}{\left(t^{2} \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 2 t d t}\right)}}={\color{red}{\left(- t^{2} e^{- t} - \int{\left(- 2 t e^{- t}\right)d t}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ con $$$c=-2$$$ e $$$f{\left(t \right)} = t e^{- t}$$$:

$$- t^{2} e^{- t} - {\color{red}{\int{\left(- 2 t e^{- t}\right)d t}}} = - t^{2} e^{- t} - {\color{red}{\left(- 2 \int{t e^{- t} d t}\right)}}$$

Per l'integrale $$$\int{t e^{- t} d t}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=t$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (i passaggi si possono vedere »).

Quindi,

$$- t^{2} e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{t e^{- t} d t}}}=- t^{2} e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(t \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 1 d t}\right)}}=- t^{2} e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(- t e^{- t} - \int{\left(- e^{- t}\right)d t}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$:

$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

Sia $$$u=- t$$$.

Quindi $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dt = - du$$$.

L'integrale può essere riscritto come

$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=- t$$$:

$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{{\color{red}{u}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

Pertanto,

$$\int{t^{2} e^{- t} d t} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}$$

Semplifica:

$$\int{t^{2} e^{- t} d t} = \left(- t^{2} - 2 t - 2\right) e^{- t}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{t^{2} e^{- t} d t} = \left(- t^{2} - 2 t - 2\right) e^{- t}+C$$

$$$\int t^{2} e^{- t}\, dt = \left(- t^{2} - 2 t - 2\right) e^{- t} + C$$$A