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Seconda derivata di $$$e^{3 x}$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatore di derivate, Calcolatrice di derivazione logaritmica
Il tuo input
Trova $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right)$$$.
Soluzione
Trova la derivata prima $$$\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)$$$
La funzione $$$e^{3 x}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$La derivata della funzione esponenziale è $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Torna alla variabile originale:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = e^{{\color{red}\left(3 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = 3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)} = e^{3 x} {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$3 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 3 e^{3 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right) = 3 e^{3 x}$$$.
Successivamente, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = \frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right)$$$
Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = 3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)}$$La funzione $$$e^{3 x}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$3 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)} = 3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$La derivata della funzione esponenziale è $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$$3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = 3 {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Torna alla variabile originale:
$$3 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = 3 e^{{\color{red}\left(3 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = 3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$3 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)} = 3 e^{3 x} {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$9 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 9 e^{3 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$.
Pertanto, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$.
Risposta
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$A